Правильные многоугольники и их свойства презентация. Презентация на тему "правильные многоугольники"

Из истории Из истории Правильные многоугольники были известны еще в глубокой древности. В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных их камня. Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным многоугольникам еще со времен Пифагора. Учение о правильных многоугольниках было систематизировано и изложено в 4 книге «Начал» Евклида.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ПЛАТОНОВЫ тела: Тетраэдр – «огонь» Куб– «земля» Октаэдр – «воздух» Додекаэдр – «весь мир» Икосаэдр – «вода»

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – это пчелиные соты, которые представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. На этих шестиугольниках пчелы выращивают из воска ячейки, представляющие собой прямые шестиугольные призмы. В них пчелы и откладывают мед, а затем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.

Источники информации: Детская энциклопедия "Я познаю мир" Математика, Москва, АСТ,1998. ru.wikipedia.org/wiki/История математики А..И.Азевич Двадцатьуроков гармонии: Гуманитарно- математический курс.-М.: Школа-Пресс,1998.

Урок по теме «Правильные многоугольники"

Цели урока:

образовательная: познакомить учащихся с понятием и видами правильных многоугольников, с некоторыми их свойствами;научить пользоваться формулой для вычисления угла правильного многоугольника

- развивающая:

- воспитательная:

Ход урок:

1. Организационный момент

Девиз урока:

Три пути ведут к знанию:

Китайский философ и мудрец Конфуций.

2. Мотивация урока.

Дорогие ребята!

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос:

Каковы их элементы?

Виды многоугольником

4. Изучение нового материала.

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Присмотритесь внимательно к слову “многоугольник”, и скажите из каких частей оно состоит. Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”.

Подставьте в слово “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 5. Вы получите ПЯТИУГОЛЬНИК. Или 6. Тогда – ШЕСТИУГОЛЬНИК. Заметьте, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

На рисунке геометрические фигуры. Используя рисунок, назовите эти фигуры.

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

С некоторыми правильными многоугольниками вы уже знакомы - равносторонний треугольник (правильный треугольник), квадрат (правильный четырехугольник).

Ознакомимся с некоторыми свойствами, которыми обладают все правильные многоугольники.

Сумма углов многоугольника
n – число сторон
n-2 - количество треугольников
Сумма углов одного треугольника - 180º, умножим на количество треугольников n -2, получим S= (n-2)*180.

S=(n-2)*180
Формула для вычисления угла х правильного многоугольника .
Выведем формулу для вычисления угла х правильного n- угольника.
В правильном многоугольнике все углы равны, сумму углов делим на количество углов, получим формулу:
x =(n-2)*180/n

5. Закрепление нового материала.

Решить № 179, 181, 183(1), 184.

Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 183(2).

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

Что удивило?

Что понравились больше всего?

Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Д/з. Выучить п.6. Решить № 180, 182 185.

Творческое задание:

Internet :

Просмотр содержимого презентации
«правильные многоугольники»

• - образовательная: познакомить обучающихся с понятием и видами правильных многоугольников, с некоторыми их свойствами; научить пользоваться формулой для вычисления угла правильного многоугольника
• - развивающая: развитие познавательной активности, пространственного воображения, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
• - воспитательная: воспитание интереса к предмету, умение работать в коллективе, культуре общения.

Девиз урока:

Три пути ведут к знанию:

Путь размышления – это путь самый благородный;

Путь подражания – это путь самый легкий;

Путь опыта – это путь самый горький.

Китайский философ и мудрец

Конфуций.

• Какие геометрические фигуры нами уже изучены?
• Каковы их элементы?
• Какая фигура называется многоугольником?
• Виды многоугольником
• Что такое периметр многоугольника?
• Чему равна сумма внутренних углов многоугольника?

Неправильные Правильные многоугольники

• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все углы равны и все стороны равны

Свойства правильных многоугольников

Сумма углов

многоугольника

n – число сторон n-2 - количество треугольников Сумма углов одного треугольника - 180º, 180º умножим на количество треугольников (n -2), получим S= (n-2)*180.

Формула для вычисления угла правильного п - угольника

В правильном п - угольнике все углы равны, сумму углов делим на количество углов, получим формулу:

а n =(n-2)*180/n

Тест Выберите номера правильных утверждений.

• Выпуклый многоугольник является правильным, если все его стороны равны.
• Любой правильный многоугольник является выпуклым.
• Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.
• Треугольник является правильным, если все его углы равны.
• Любой равносторонний треугольник является правильным.
• Любой выпуклый многоугольник является правильным.
• Любой четырехугольник с равными углами правильный.

Самостоятельная работа

а п =(n-2)*180/n

а 3 =(3-2)*180/3= 180/3= 60

Домашнее задание

№ 1079 (устно), № 1081(б, д), № 1083 (б)

Творческое задание:

*Историческая справка о правильных многоугольниках. Возможные запросы для поисковой системы сети Internet :

• Многоугольники в школе Пифагора. Построение многоугольников, Евклид. Правильные многоугольники, Клавдий Птолемей.
• Многоугольники в школе Пифагора.
• Построение многоугольников, Евклид.
• Правильные многоугольники, Клавдий Птолемей.

Cлайд 1

Cлайд 2

Определение правильного многоугольника. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.

Cлайд 3

Cлайд 4

Окружность, описанная около правильного многоугольника. Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

Cлайд 5

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Cлайд 6

Пусть А1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки Н1 , Н2, Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник. Доказать: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Cлайд 7

Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.

Cлайд 8

А D B C O Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник. Доказать: около любого правильного многоугольника можно провести окружность, и притом только одну. Доказательство: Проведём биссектрисы ВО и СО равных углов АВС и ВСD. Они пересекутся, так как углы многоугольника выпуклые и каждый меньше 180⁰. Пусть точка их пересечения – О. Тогда, проведя отрезки ОА и OD, получим ΔВОА, ΔВОС и ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС по первому признаку равенства треугольников (ВО – общая, АВ=ВС, угол 2 = углу 3). Аналогично ΔВОС=ΔCOD. 1 2 3 4 Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.

Cлайд 9

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аn можно описать только одну окружность. o A B C D

Cлайд 10

Следствия. Следствие №1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие №2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Cлайд 11

Формула для вычисления площади правильного многоугольника. Пусть S – площадь правильного n-угольника, a1 – его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что

Cлайд 12

Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна Следовательно,

Cлайд 13

Формула для вычисления стороны правильного многоугольника. Выведем формулы: Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О O А1 А2 А3 Аn H2 H1 Hn H3 Следовательно,

Cлайд 14

Полагая в формуле n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Cлайд 15

Задача №1 Дано: окружность(О; R) Построить правильный n- угольник. окружность разделим на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8). Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник. Построение правильных многоугольников.

Cлайд 16

Задача №2 Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник Построить правильный 2n-угольник Решение. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1. Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополам Каждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника. На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1 В1 А2 В2 ... А6 В6.

Слайд 3

Правильные многоугольники

Слайд 4

«Три качества: обширные знания, привычка мыслить и благородство чувств – необходимы для того, чтобы человек был образованным в полном смысле слова».Н.Г.Чернышевский

Слайд 5

Слайд 6

Симонов монастырь

Слайд 7

А знаете ли вы?

Какие геометрические фигуры нами уже изучены? Каковы их элементы? Какая фигура называется многоугольником? Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник? Какой многоугольник называется выпуклым? Покажите на рисунке выпуклые и невыпуклые многоугольники. Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника, внешними углами. По какой формуле вычисляется сумма углов выпуклого многоугольника? Что такое периметр многоугольника?

Слайд 8

Вопросы к кроссворду: Стороны, углы и вершины многоугольника? Как называется многоугольник с равными сторонами и углами? 3.Как называется фигура, которую можно разбить на конечное число треугольников? 4.Часть окружности? 5.Граница многоугольника? 6.Элемент окружности? 7.Элемент многоугольника? 8.Граница круга? 9.Многоугольник с наименьшим числом сторон? 10.Угол, вершина которого находится в центре окружности? 11.Другой вид угла окружности? 12.Сумма длин сторон многоугольника? 13.Многоугольник, который находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону?

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Чему равен каждый из углов правильного а)десятиугольника; б) n-угольника.

Слайд 12

Угол правильного n-угольника

Слайд 13

Слайд 14

Практическая работа. 1.Семиглавая башня Белого города в плане являлась правильным шестиугольником, все стороны которого равны 14 м. Вычертите план этой башни. 2. Измерьте угол АОВ. Какую часть его величина составляет от величины полного угла O? Как можно вычислить величину этого угла, зная число сторон многоугольника? 3.Измерьте угол CAK - внешний угол многоугольника. Вычислите сумму внешнего угла CAK и внутреннего угла CAB. Почему сумма этих углов всегда составляет 180°? Чему равна сумма внешних углов правильного шестиугольника, взятых по одному при каждой вершине?

Слайд 15

Слайд 16

Диаметр основания башни Дуло - 16м. Вычертите план основания 16-гранной башни, используя при построении величину угла, под которым из центра окружности видна сторона многоугольника. Вычислите внутренний и внешний углы этого 16-угольника. Чему равна сумма внешних углов правильного 16-угольника, взятых по одному при каждой вершине?Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, взятых по одному при каждой вершине? № 1082, 1083.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Правильные многогранники

Сколько существует правильных многогранников? - Как они определяются, какими свойствами обладают? -Где встречаются, имеют ли практическое применение?

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

«эдра» - грань «тетра» - четыре гекса» - шесть «окта» - восемь «додека» - двенадцать «икоса» - двадцать Названия этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указано число граней.

Название правильного многогранника Вид грани Число вершин ребер граней граней, сходящихся в одной вершине Тетраэдр Правильный треугольник 4 6 4 3 Октаэдр Правильный треугольник 6 12 8 4 Икосаэдр Правильный треугольник 12 30 20 5 Куб (гексаэдр) Квадрат 8 12 6 3 Додекаэдр Правильный пятиугольник 20 30 12 3 Данные о правильных многогранниках

Вопрос (проблема): Сколько существует правильных многогранников? Как установить их количество?

α n = (180 °(n -2)) : n При каждой вершине многогранника не меньше трех плоских углов, и их сумма должна быть меньше 360 ° . Форма граней Количество граней при одной вершине Сумма плоских углов при вершине многогранника Вывод о существовании многогранника α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3

Л. Кэрролл

Великие математики древности Архимед Евклид Пифагор

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются тела Платона

тетраэдр - огонь куб - земля октаэдр - воздух икосаэдр - вода додекаэдр - вселенная

Многогранники в науках о космосе и земле

Иоганн Кеплер (1571-1630) – немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии - открыл законы движения планет (законы Кеплера)

кубок Кеплера Космический

" Экосаэдро - додекаэдровая структура Земли "

Многогранники в искусстве и архитектуре

Альбрехт Дюрер (1471-1528) «Меланхолия»

Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»

Современные архитектурные сооружения в виде многогранников

Александрийский маяк

Кирпичный многогранник швейцарского архитектора

Современное здание в Англии

Многогранники в природе ФЕОДАРИЯ

Пирит (сернистый колчедан) Монокристалл алюмокалиевых квасцов Кристаллы красной медной руды ПРИРОДНЫЕ КРИСТАЛЛЫ

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба. Молекулы воды имеют форму тетраэдра. Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра

Алмаз В форме октаэдра кристаллизуются алмаз, хлорид натрия, флюорит, оливин и другие вещества.

Исторически первой формой огранки, появившейся в XIV веке стал октаэдр. Алмаз Шах Масса алмаза 88,7 карата

Задача Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм. Найти максимальную длину золотой нити.

Правильный многогранник Число Граней Вершин Рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В + Г - 2 = Р где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер этого многогранника.

ФИЗМИНУТКА!

Задача Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Задача Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 12 см.

Кристалл имеет форму октаэдра, состоящего из двух правильных пирамид с общим основанием, ребро основания пирамиды 6 см. высота октаэдра 8 см. Найдите площадь боковой поверхности кристалла

Площадь поверхности Тетраэдр Икосаэдр Додекаэдр Гексаэдр Октаэдр

Задание на дом: mnogogranniki.ru Пользуясь развертками изготовить модели 1-го правильного многогранника со стороной 15 см, 1-го полуправильного многогранника

Спасибо за работу!