Момент инерции тела относительно произвольной оси. Момент инерции твердого тела Момент инерции тела вокруг произвольной оси

Во всех четырех случаях мы рассматривали моменты инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции этих тел. С помощью теоремы Штейнера можно найти моменты инерции тел относительно других произвольных осей, что бывает необходимо, ибо вращение не всегда бывает относительно центра инерции.

Теорема Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

(- расстояние между осямиzиc).

Доказательство:

(по определению)

Видно, что
(по определению)

(т.к.
)

Таким образом,

§14. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть к твердому телу с неподвижной осью вращения в некоторой точке приложена сила
.

Тогда если точка А совершает элементарное перемещение , то элементарная работа силы равна Представим силу в виде суммы двух сил, одна из которых параллельна оси вращенияz(), а другая перпендикулярна осиz().

Тогда элементарная работа .

Точка , как и все точки тела, движется по окружности, плоскость которой перпендикулярна осиz, а значит
соединяет две точки этой окружности и также лежит в плоскости, перпендикулярной осиz, а значит и вектору, т.е.
. Следовательно,
,

где - угол между векторамии
.

Рассмотрим вид сверху.

В силу того, что : . Вектор в силу малости . , как углы с взаимно перпендикулярными лучами.

где
.

Опр.

Величина , равная расстоянию от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения, называется плечом силы.

Опр.

Величина произведения проекции силы на плоскость вращения () и плеча силыназывается моментом силы относительно оси вращенияz.

Если сила
, приложенная к телу, приводит к увеличению угла поворота (т.е. к вращению тела по выбранному положительному направлению вращения), то момент такой силы является величиной положительной. Если же сила приводит к уменьшению угла, то момент силы отрицателен. Исходя из того, что величина элементарной работы равна
, то, согласно теореме о кинетической энергии (

), приравнивая правые части уравнений получим:

(Т.к.
и
)

Это и есть основной закон динамики вращательного движения.

Формулировка закона:

Момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения.

Легко можно показать, что если на тело, закрепленное вокруг оси вращения, действует множество сил с различными моментами, то алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения равна произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения:

§15. Момент импульса.

Закон сохранения момента импульса

Поступательное движение	Вращательное движение
Продолжая аналогию можно предположить, что

-момент импульса вращающегося вокруг осиzтела.

Действительно

=>
=>
, Видно, если
, то

Таким образом, если алгебраическая сума моментов всех сил, приложенных к телу, относительно оси вращения равна 0, то момент импульса относительно этой оси есть величина постоянная.

Легко доказать, что таким же образом сохраняется момент импульса системы тел, вращающихся вокруг данной оси с различными угловыми скоростями , а не одного только твердого тела.

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса замкнутой системы тел относительно произвольной оси есть величина постоянная.

В заключении рассмотрим частные случаи в решении задач при определении момента импульса тела, размерами которого, по сравнению с расстоянием до оси вращения, можно пренебречь.

1. Материальная точка вращается по окружности.

2. Если точечное тело движется в произвольном направлении относительно оси вращения.

, где - расстояние от линии, направленной вдоль скорости тела до оси.

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами
, находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества,
– объемi - го участка, то

,

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а ), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F ,
- точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила;r - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О "; O "B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и(рис.6.2,б ), т.е.
+, где- составляющая, направленная параллельно оси ОО, алежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силыF относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью
. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами
, которые находятся от оси соответственно на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi -участка. Моментом импульса i -участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого
.

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы
инаправлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

Введенные формулами (3.26), (3.27) величины оказываются существенно необходимыми при изучении динамики вращательных движений твердого тела или системы тел. Эти характеристики инерции зависят как от положения начала координат, так и от направлений выбранных коор­динатных осей. Однако в данной точке тела шесть величин вместе с суммарной массой М пол­ностью определяют его инерцию. Иначе говоря, зная эти ве­личины, можно найти момент инерции относительно оси про­извольного направления и центробежный момент инерции для пары новых (повернутых) осей, а также, при известной геометрии тела, перейти к инерционным характеристикам, определенным для другого начала координат. Пусть требуется найти момент инерции относительного заданного направления (оси ξ ), характеризуемого ортом . Моментом инерции системы материальных точек относи­тельно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси

Легко сообразить, что квадрат расстояния h, , можно подсчи­тать по формуле (рис. 53)

(3.28)

Запишем полученное выражение (3.29) иначе

Мы изменили порядок сомножителей во втором скалярном произведении и отбросили скобки; первое делать можно, а второе? При этом появилась новая величина , в которой два вектора перемножаются, но не скалярно и не векторно, а каким-то новым способом; такое умножение на­зываетсядиадным (или тензорным),а само произведение - диадой, которая представляет собой тензор второго ранга. Аналитическое определение тензора состоит в следующем: совокупность Зn величин (в трехмерном пространстве), преобразующихся при повороте координатной системы как произведения n координат, называется тензором n-го ранга. По этому определению диада будет тензором 2-го ранга, вектор -тензором 1-го ранга, а скалярная величина - тензором нулевого ранга. Очевидно, что диада не изменится при перестановке ее сомножителей - это симметричная диада. Более общий случай получим, перемножая два разных вектора, например и ; диада уже не будет симметричнойи переставлять сомножители у нее нельзя:

Так как векторы и можно представить в виде

то диада может быть записана в виде суммы девяти сла­гаемых

(3.30)

Здесь ….. элементарные диады, а коэффици­енты при них называются составляющими или компонентами тензора. Тензор второго ранга (диаду) можно записать также в виде квадратной матрицы. Так, для тензора (3.30)

(3.31)

Хотя развернутый вид (3.30) тензора и не имеет таблич­ного вида (3.31), однако положение каждой составляющей в таб­лице устанавливается сразу по ее множителю - элементар­ной диаде: левый орт указывает строку, а правый орт - стол­бец, орты соответствуют положению данной составляющей в матрице (3.31). Теперь легко понять неравенство ; пе­рестановка сомножителей в диаде означает замену строк столбцами (и наоборот) в матрице (3.31), а тензор будет транспонированным по отношению к первоначальному тен­зору .Из теории матриц известно, что квадратную матрицу (3.31) можно умножить справа на вектор-столбец или слева на вектор-строку. Запись тензора в форме (3.30) позволяет эти операции свести к скалярному умножению ортов. Тензор второго ранга можно умножить скалярно как справа, так и слева на вектор а ; при этом результат будет различным, так как при правом умножении тензора на вектор будут по­являться скалярные произведения правых ортов элементар­ных диад на орты вектора, а при левом умножении вектора на тензор в скалярных произведениях будут участвовать левые орты элементарных диад. В результате останутся орты элементарных диад, которые не участвовали в скаляр­ных произведениях, поэтому скалярное произведение тензора и вектора будет векторной величиной. Легко сообразить, что , где означает транспонированный тензор. В случае сим­метричного тензора транспонированный тензор равен перво­начальному и разница между правым и левым произведени­ями исчезает. В нашем случае симметричный тензор и его разверну­тое выражение типа (3.29) оказывается проще:

Если тензор (второго ранга) умножать скалярно на век­торы и слева, и справа, то участвовать в скалярных произве­дениях будут как левые, так и правые орты элементарных диад, и в результате получится скалярная величина. Именно это мы имеем в формуле (3.29). Записывая эту формулу в виде

где тензор представлен выше в виде (3.32), сразу понимаем, что в результате двойного скалярного перемножения в (3.33) исчезают те слагаемые, в которых встречаются произведе­ния (скалярные) разных ортов. Остающиеся слагаемые легко написать сразу; это будут те же компоненты тензора , что и представленные в формуле (3.32), только орты в этой фор­муле следует заменить на соответствующие проекции вектора . Тогда получим

Сравнивая результат (3.34) с формулой (3.38а), убеждаемся и законности опускания скобок в формуле (3.29). Простейшим тензором второго ранга будет единичный тензор:

(3.35)

Нетрудно сообразить, что диагональные элементы мат­рицы, соответствующей тензору (3.35), будут единицами, а остальные, недиагональные - нулями. Название «единич­ный тензор» совершенно оправдано, так как, умножая на него любой вектор (справа или слева - это безразлично), мы опять получим вектор :

Это свойство единичного тензора приводит к следую­щему интересному соотношению:

(3.36)

Соотношения (3.36) и (3.29) позволяют написать формулу (3.28) В ином виде

= (3.38)

Величина

= , (3.39)

вошедшая в выражение для (формула 3.38), представляет собой тензор инерции твердого тела в точке О . Вводя этот тензор, переписываем формулу (3.38) для момента инерции относи­тельно оси , заданной направлением орта , в очень про­стом виде

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.