Момент импульса относится к фундаментальным, основополагающим законам природы. Он непосредственно связан со свойствами симметрии пространства физического мира, в котором мы все живем. Благодаря закону своего сохранения, момент импульса определяет привычные для нас физические законы перемещения материальных тел в пространстве. Данной величиной характеризуется количество поступательного или вращательного движения.

Момент импульса, также называемый "кинетическим", "угловым" и "орбитальным", является важной характеристикой, зависящей от массы материального тела, особенностей ее распределения относительно воображаемой оси обращения и скорости перемещения. Здесь следует уточнить, что в механике вращение имеет более широкую трактовку. Даже мимо некой произвольно лежащей в пространстве точки можно считать вращательным, принимая ее за воображаемую ось.

Момент импульса и законы его сохранения были сформулированы Рене Декартом применительно к поступательно движущейся системе Правда, о сохранении типа он не упоминал. Лишь столетие спустя Леонардом Эйлером, а затем другим швейцарским ученым, физиком и математиком при изучении вращения материальной системы вокруг неподвижной центральной оси был сделан вывод, что и для такого вида перемещения в пространстве действует данный закон.

Дальнейшие исследования полностью подтвердили, что при отсутствии внешнего воздействия сумма произведения массы всех точек на общую скорость системы и расстояния до центра вращения остается неизменной. Несколько позднее французским ученым Патриком Дарси эти слагаемые были выражены через площади, заметаемые радиус-векторами за одинаковый период времени. Это позволило связать момент импульса материальной точки с некоторыми известными постулатами небесной механики и, в частности, с важнейшим положением о движении планет

Момент импульса твердого тела - третья динамическая переменная, к которой применимы положения фундаментального закона сохранения. Он гласит о том, что независимо от характера и при отсутствии внешнего воздействия данная величина в изолированной материальной системе всегда будет оставаться неизменной. Этот физический показатель может подвергнуться каким-либо изменениям только в случае наличия ненулевого момента воздействующих сил.

Из данного закона также следует, что если М = 0, любое изменение расстояния между телом (системой материальных точек) и центральной осью вращения непременно вызовет увеличение или уменьшение скорости его обращения вокруг центра. Например, гимнастка, выполняющая сальто, чтобы произвести в воздухе несколько оборотов, изначально свертывает свое тело в клубок. А балерины или фигуристки, вращаясь в пируэте, разводят руки в стороны, если хотят замедлить движение, и, наоборот, прижимают их к корпусу, когда стараются кружиться с большей скоростью. Таким образом, в спорте и искусстве используются фундаментальные законы природы.

Момент импульса

Определение

Моментом импульса относительно неподвижной оси $z$ называется скалярная величина $L_{z} $, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси.

Значение момента импульса $L_{z} $ не зависит от положения точки 0 на оси $z$. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса $r_{i} $ с некоторой скоростью $v_{i} $. Скорость $v_{i} $ и импульс $m_{i} v_{i} $ перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора $m_{i} v_{i} $. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси $z$ равен:

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:

Учитывая связь между линейно и угловой скоростями ($v_{i} =\omega r_{i} $), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:

$L_{z} =\sum _{i=1}^{n}m_{i} r_{i}^{2} \omega =\omega \sum \limits _{i=1}^{n}m_{i} r_{i}^{2} =J_{z} \omega $, (1)

т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцировав выражение (1) по времени, получим:

$\frac{dL_{z} }{dt} =J_{z} \frac{d\omega }{dt} =M_{z} $ (2)

Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем: если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

Действительно, если:

$M=0$, то $\frac{dL}{dt} =0$,

откуда: $\overline{L}=const$. (3)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.

Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси $z$ (уравнение 2), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если $M_{z} =0$, то $\frac{dL_{z} }{dt} =0$, откуда $\overline{L}_{z} =const,$ или $J_{z} \omega =const$.(4)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства -- его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Справедливы следующие выражения:

• Момент инерции тела относительно оси вращения -- это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
\
• Момент инерции тела $J_{z} $ относительно любой оси вращения равен моменту его инерции $J_{c} $относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: $J_{z} =J_{c} +ma^{2} $;
• При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси $z$ его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:
\
• Из сравнения формул $E_{k_{2@} } =\frac{J_{z} \omega ^{2} }{2} $и $E_{k} =\frac{mv^{2} }{2} $ следует, что момент инерции -- мера инертности тела при вращательном движении;
• Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид: $M_{z} =J_{z} \varepsilon =\frac{dL_{z} }{dt} $.

Пример

Груз массой 0,8 кг подвешен на тонкой невесомой нити, на высоте 3 м над полом. Нить намотана на сплошной однородный цилиндрический вал радиусом 30 см с моментом инерции 0,15 кг*м2. Вращаясь, вал опускает груз на пол. Определить: время опускания груза до пола, силу натяжения нити, кинетическую энергию груза в момент касания грузом пола.

$r$= 15 см=0,15м

$J_{x} $= 0,18 кг*м2

Найти: $t,N,E_{k} $-?

Отсюда, сила натяжения нити: $N=\frac{J_{x} \varepsilon }{r} =\frac{0,18\cdot 4}{0,15} =4,8H$.

Кинетическая энергия груза в момент удара об пол:

Ответ: $t=3,2A$, $N=4,8H$, $E_{k} =0,9Дж.$

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

· Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

· Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рис.3.2

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение или F = ma τ .

Используя соотношение a τ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки ):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ -момент импульса (или момент количества движения), МΔt - импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, .

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц :

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса ):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

где J 1 и ω 1 - момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J 2 и ω 2 – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

ΔA = ΔE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем

ΔA =MΔφ (3.24)

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения

Определение

Момент импульса - векторная физическая величина характеризующая импульс, численно равная векторному произведению
Момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Эта величина называется моментом импульса относительно оси.

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем. В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

Сначала дадим определение изотропности , чтобы продвинуться далее в изучении.

Изотропность — одно из ключевых свойств пространства в классической механике. Пространство называется изотропным, если поворот системы отсчета на произвольный угол не приведет к изменению результатов измерений.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.
Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства - его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Пример

Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей Жуковского. Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка, свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси. Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси с угловой скоростью ω1 . Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость ее вращения ω2 возрастает.

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом и моментом

Определение

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса :

где - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где - радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где - импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

Из определения момента импульса следует его аддитивность : как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

• Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением , он является псевдовектором , перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр , знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где - угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем в виде , где - составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а - аналогично, перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для .

Сохранение углового момента

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	…энергии
⊠ , , и -симметрии	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

С учетом , где - обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения , совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

где, - момент импульса системы. Ввиду произвольности , из равенства следует .

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле , канонический импульс не является инвариантным . Как следствие, канонический момент импульса тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

где - электрический заряд , - скорость света , - векторный потенциал . Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы в электромагнитном поле:

где - скалярный потенциал . Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:

где - знак векторного произведения .

Чтобы рассчитать момент импульса тела , его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл :

Можно переписать это через плотность :