Найти решение дробно рациональных уравнений. "решение дробных рациональных уравнений"
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.
Например:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\)
\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)
Пример не дробно-рациональных уравнений:
\(\frac{9x^2-1}{3}\)
\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)
\(+8x^2=6\)
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
Выпишите и «решите» ОДЗ.
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
Решите полученное уравнение.
Проверьте найденные корни с ОДЗ.
Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.
Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.
Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)
Решение:
Ответ: \(3\).
Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)
Решение:
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)
\(=0\) |
Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. |
|
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) |
Сокращаем дроби |
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Раскрываем скобки |
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Находим корни уравнения |
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\) |
|
Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. |
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .
Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
- заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
- решить получившееся целое уравнение,
- исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 1. Решить дробное уравнение:
Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:
.
Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.
Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение
Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение
.
При решении квадратного уравнения получаем его корни:
.
Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.
Пример 2. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель -
Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению
Решенив квадратное уравнение , получаем его корни:
Если x = -3 , то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:
,
то же самое, если x = 3 .
Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:
.
Общий знаменатель - выражение
Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению
.
Решенив квадратное уравнение , получаем его корни:
.
Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 - корни данного уравнения.
Пример 4. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y .
Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.
Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.
Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.
Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение:
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получаем следующую систему:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:
Получаем два корня: ; .
Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.
Ответ: .
Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:
1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.
2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.
3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .
4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.
Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решить уравнение: .
Решение
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.
Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:
Получаем два корня: ; .
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.
Ответ: .
На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.
На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
- Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Домашнее задание