Алгоритм деления алгебраических дробей. Умножение и деление алгебраических дробей

Пример.

Найдите произведение алгебраических дробей и .

Решение.

Перед выполнением умножения дробей, разложим на множители многочлен в числителе первой дроби и знаменателе второй. В этом нам помогут соответствующие формулы сокращенного умножения : x 2 +2·x+1=(x+1) 2 и x 2 −1=(x−1)·(x+1) . Таким образом, .

Очевидно, полученную дробь можно сократить (этот процесс мы разбирали в статье сокращение алгебраических дробей).

Осталось лишь записать результат в виде алгебраической дроби, для чего нужно выполнить умножение одночлена на многочлен в знаменателе: .

Обычно решение записывают без пояснений в виде последовательности равенств:

Ответ:

.

Иногда с алгебраическими дробями, которые нужно умножить или разделить, следует выполнить некоторые преобразования, чтобы выполнение указанных действий проходило проще и быстрее.

Пример.

Разделите алгебраическую дробь на дробь .

Решение.

Упростим вид алгебраической дроби , избавившись от дробного коэффициента. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 7 , что нам позволяет сделать основное свойство алгебраической дроби , имеем .

Теперь стало видно, что знаменатель полученной дроби и знаменатель дроби , на которую нам нужно выполнить деление, являются противоположными выражениями. Изменим знаки числителя и знаменателя дроби , имеем .

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
Мультимедийное учебное пособие для 8 класса "Алгебра за 10 минут"

Предварительное разложение алгебраической дроби на множители

Перед началом работы с дробями, а именно на умножении и делении, желательно произвести разложение числителя и знаменателя на множители. Это облегчит разложение на множители дроби, которая получится в результате математического действия.

Например, дана дробь:

$\frac{8x+8y}{16}$.

Произведем тождественное преобразование, то есть разложим числитель на множители.

$\frac{8x+8y}{16}=\frac{8(x+y)}{16}$.

Или, например, дана такая дробь:

$\frac{x^2-y^2}{x+1}$.

Её лучше привести к такому виду:

$\frac{x^2-y^2}{x+1}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+1}$.

Не забываем про свойство:

$(b-a)^2=(a-b)^2$.

Умножение алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Умножение алгебраических дробей производится так же, как и умножение обыкновенных дробей. Перемножаются между собой числители и знаменатели.
В виде формулы это можно представить следующим образом:

$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислите:

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}$.

Разложим дробь на множители.

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}=\frac{5(x+y)}{x-y}*\frac{(x-y)(x+y)}{10x}$.

Приведем обе дроби к общему знаменателю (вспомним урок: "Сложение и вычитание дробей ", где были подсказки, как лучше и проще подбирать общий знаменатель). В итоге получим дробь.

$\frac{5(x+y)(x-y)(x+y)}{(x-y)*10x}=\frac{(x+y)^2}{2x}$

Пример 2.

Вычислите:

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6b^2-12ab+6a^2}{49a^4b^5}$.

Разложим на составные множители и сократим дробь.

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6(b^2-2ab+a^2)}{49a^4b^5}=\frac{7a^3b^5*6(b-a)^2}{3(a-b)*49a^4b^5}=\frac{2(b-a)^2}{7a(a-b)}$.

Деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Деление дробей производится так же, как и деление обыкновенных дробей, то есть нужно дробь "делителя" перевернуть и произвести умножение.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Рассмотрим примеры.

Пример 3.

Выполните действия:

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

Разложим дроби на множители.

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

Теперь переворачиваем дробь и умножаем.

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)*16y^2}{8y*(x^2+x+1)}=2y*(x-1)$.

Пример 4.

Вычислите:

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}$.

Разложим на множители и сгруппируем многочлены.

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(ab+2b)-(3a+6)}:\frac{b-a}{a+2}=$

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{b(a+2)-3(a+2)}:\frac{b-a}{a+2}$.

Переворачиваем и умножаем дроби.

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2)}{(a+2)(b-3)(b-a)}=\frac{-(a+b)(a^2+b^2)}{(b-3)}$.

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:

1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.

При этом многочлены нужно .

2) Если можно, сократить дробь.

Замечание.

При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.

Примеры умножения алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:

Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:

Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .

В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:

Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):

Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:

При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.

В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:

Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):

В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.

Рубрика: |

Тема: Умножение и деление алгебраических дробей

Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто

Лауэ

Цели:

Образовательные:

закрепить ЗУН по теме

провести первичный текущий контроль знаний

работать над пробелами

Развивающие:

способствовать развитию коммуникативной компетенции, т.е. умению эффективно сотрудничать с другими людьми.

способствовать развитию кооперативной компетенции, т.е. умению работать в парах.

способствовать развитию проблемной компетенции, т.е. умению понимать неизбежности возникновения трудностей в ходе любой деятельности.

Воспитательные:

прививать умение адекватно оценивать работу, проделанную товарищем;

при работе в парах воспитывать качества взаимопомощи, поддержки.

Методические:

создание условий для проявления индивидуальности, познавательной активности учащихся;

показать методику проведения урока с проектированием результатов учебной деятельности и способам их исследования на основе компетентностного подхода.

Оборудование: доска, цветной мел. Таблица "Умножение и деление алгебраических дробей"; карточки для индивидуальной работы, карточки-"памятки". Задание в свободную минуту.

Ход урока

Организационный момент

План урока записан на доске:

Устная разминка.

Индивидуальная работа.

Решение заданий.

Парная работа.

Итог урока.

Домашнее задание.

Учитель: В старину на Руси считалось, что если человек был сведущ в математике, то это означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать первый шаг к мудрости. Хочется, чтобы сегодня все ученики вашего класса показали насколько они мудры и насколько сведущие люди в алгебре 7 класса.

Итак, тема урока "Умножение и деление алгебраических дробей" На прошлом уроке вы начали изучать данную тему, и мы обсуждали, зачем ее изучаем. Давайте вспомним, где она нам пригодится уже через несколько уроков.

Учащиеся: Для совместных действий с алгебраическими дробями, для решения уравнений, а значит и задач.

Учитель: Еще в старину на Руси говорили, что умноженье - мученье, а с делением - беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно умножать и делить считался большим математиком.

Какие вы цели поставите перед собой?

Учащиеся: Продолжить изучать тему, научиться быстро и безошибочно умножать и делить.

Учитель: Чтобы достичь поставленных целей мы (открывает план, записанный на доске, проговаривает его)

1. Устная разминка: (в это время 3 - 4 человека решают тренажер по сокращению дробей в парах) разложите на множители, заполнив пропуски

1= (у-1) (…), 5а+5b=… (a+b), ху-х=х (…), 14-2х=…

сократите дробь

Дроби, дроби, дроби бей сокращай их не жалей.

найдите ошибку, допущенную при умножении и делении алгебраических дробей

Учитель: Где допущена ошибка? Почему ошибка допущена? Какого правила, ученик не знал? Какое знал? Как надо правильно сделать?

2. Работа в тетради, № из учебника 488 (1) Анализ, решение, проверка.

Учитель: А сейчас вам представится возможность показать свои знания при выполнении теста, а чтобы воодушевить вас на работу прочитаю стишок "Чтоб записал учитель "5" в твой дневник числитель на числитель сумей умножить вмиг, а чтоб преподаватель доволен был тобой, ты первый знаменатель умножишь на второй"

Самопроверка, взаимопроверка. По критериям (вывешены на доске) В-1 (321), В-2 (132) по правильным кодам оценивание в парах. Первоначальный результат. Оценки.

Работа над ошибками в парах "ученик-учитель"

Если в парах нет ошибок делают задание в свободную минуту.

Упростите выражение и найдите его значение при

5. Итог урока

В заключение урока, мне хотелось бы узнать у вас, какие виды работы вызвали у вас затруднения? Как вы думаете, почему? Что узнали нового? Кто из вас доволен своей работой на уроке? Как вы считаете, цели, поставленные в начале урока достигнуты?

Учитель: Закончить урок я хотела бы словами французского инженера-физика Лауэ: "Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто"

Надеюсь, что этот материал вы не забудете, чтобы этого не случилось надо выполнить д/з №486,487,488 четные.